Circuito De Filtro Médio Móvel

O Guia de cientistas e engenheiros para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Filtros analógicos para conversão de dados A Figura 3-7 mostra um diagrama de blocos de um sistema DSP, como o teorema de amostragem determina. Antes de encontrar o conversor analógico-digital, o sinal de entrada é processado com um filtro passa-baixa eletrônico para remover todas as freqüências acima da freqüência Nyquist (metade da taxa de amostragem). Isso é feito para evitar alias durante a amostragem, e é correspondentemente chamado de filtro antialias. Na outra extremidade, o sinal digitalizado é transmitido através de um conversor digital para analógico e outro filtro passa-baixa configurado para a freqüência Nyquist. Este filtro de saída é chamado de filtro de reconstrução. E pode incluir o aumento de frequência anteriormente descrito. Infelizmente, há um problema sério com este modelo simples: as limitações dos filtros eletrônicos podem ser tão ruins quanto os problemas que estão tentando evitar. Se o seu principal interesse é no software, provavelmente está pensando que não precisa ler esta seção. Errado. Mesmo se você prometeu nunca tocar em um osciloscópio, a compreensão das propriedades dos filtros analógicos é importante para o sucesso do DSP. Em primeiro lugar, as características de cada sinal digitalizado que você encontrará dependerão do tipo de filtro antialias usado quando foi adquirido. Se você não entender a natureza do filtro antialias, você não pode entender a natureza do sinal digital. Em segundo lugar, o futuro do DSP é substituir o hardware por software. Por exemplo, as técnicas de multirate apresentadas posteriormente neste capítulo reduzem a necessidade de antialias e filtros de reconstrução por truques sofisticados de software. Se você não entender o hardware, você não pode projetar o software para substituí-lo. Em terceiro lugar, grande parte do DSP está relacionado ao design do filtro digital. Uma estratégia comum é começar com um filtro analógico equivalente. E convertê-lo em software. Capítulos posteriores assumem que você possui um conhecimento básico de técnicas de filtro analógico. Três tipos de filtros analógicos são comumente usados: Chebyshev. Butterworth. E Bessel (também chamado de filtro Thompson). Cada um deles é projetado para otimizar um parâmetro de desempenho diferente. A complexidade de cada filtro pode ser ajustada selecionando o número de pólos. Um termo matemático que será discutido em capítulos posteriores. Quanto mais pólos em um filtro, mais eletronics ele requer, e melhor ele executa. Cada um desses nomes descreve o que o filtro faz. Não é uma disposição particular de resistências e capacitores. Por exemplo, um filtro Bessel de seis pólos pode ser implementado por muitos tipos diferentes de circuitos, todos com as mesmas características gerais. Para fins DSP, as características desses filtros são mais importantes do que a forma como são construídas. No entanto, vamos começar com um curto segmento no design eletrônico desses filtros para fornecer uma estrutura geral. A Figura 3-8 mostra um bloco de construção comum para o design do filtro analógico, o circuito Sallen-Key modificado. Isto é nomeado após os autores de um artigo dos anos 50 descrevendo a técnica. O circuito mostrado é um filtro passa-baixa de dois pólos que pode ser configurado como um dos três tipos básicos. A Tabela 3-1 fornece as informações necessárias para selecionar as resistências e condensadores apropriados. Por exemplo, para projetar um filtro Butterworth de 1 kHz, 2 pólos, a Tabela 3-1 fornece os parâmetros: k 1 0.1592 e k 2 0.586. Selecionando arbitrariamente R 1 10K e C 0.01uF (valores comuns para circuitos de amplificador operacional), R e R f podem ser calculados como 15.95K e 5.86K, respectivamente. Arredondando os dois últimos valores para os resistores padrão 1 mais próximos, resulta em R 15.8K e R f 5.90K. Todos os componentes devem ser de 1 precisão ou melhor. O uso específico do amplificador operacional não é crítico, desde que a freqüência de ganho unitário seja superior a 30 a 100 vezes maior do que a freqüência de corte dos filtros. Este é um requisito fácil, desde que a frequência de corte dos filtros esteja abaixo de cerca de 100 kHz. Os filtros de quatro, seis e oito pólos são formados por cascata 2,3 e 4 destes circuitos, respectivamente. Por exemplo, a Fig. 3-9 mostra o esquema de um filtro Bessel de 6 pólos criado por três etapas em cascata. Cada estágio tem valores diferentes para k 1 e k 2 conforme fornecido pela Tabela 3-1, resultando em diferentes resistências e capacitores sendo usados. Precisa de um filtro passa-alta Simplesmente troque os componentes R e C nos circuitos (deixando R f e R 1 sozinhos). Este tipo de circuito é muito comum para a fabricação de pequenas quantidades e as aplicações RampD, no entanto, a produção séria exige que o filtro seja feito como um circuito integrado. O problema é que é difícil fazer resistores diretamente em silício. A resposta é o filtro do capacitor comutado. A Figura 3-10 ilustra sua operação comparando-a a uma rede RC simples. Se uma função de etapa é alimentada em um filtro passa-baixa RC, a saída sobe exponencialmente até corresponder à entrada. A tensão no capacitor não muda instantaneamente, porque o resistor restringe o fluxo de carga elétrica. O filtro de capacitores comutados opera substituindo a rede de resistor-capacitor básica por dois capacitores e um interruptor eletrônico. O condensador recém-adicionado tem muito menor valor do que o capacitor já existente, por exemplo, 1 de seu valor. O interruptor liga alternadamente o capacitor pequeno entre a entrada e a saída em uma freqüência muito alta, tipicamente 100 vezes mais rápido do que a freqüência de corte do filtro. Quando o interruptor está conectado à entrada, o capacitor pequeno carrega-se rapidamente para qualquer tensão que esteja na entrada. Quando o interruptor está conectado à saída, a carga no capacitor pequeno é transferida para o capacitor grande. Em um resistor, a taxa de transferência de carga é determinada pela sua resistência. Em um circuito capacitor comutado, a taxa de transferência de carga é determinada pelo valor do capacitor pequeno e pela freqüência de comutação. Isso resulta em uma característica muito útil dos filtros de capacitores comutados: a freqüência de corte do filtro é diretamente proporcional à freqüência de clock usada para conduzir os interruptores. Isso torna o filtro de capacitores comutados ideal para sistemas de aquisição de dados que operam com mais de uma taxa de amostragem. Estes são dispositivos fáceis de usar pagam dez dólares e têm o desempenho de um filtro de oito pólos dentro de um único IC de 8 pinos. Agora, para a parte importante: as características dos três tipos de filtros clássicos. O primeiro parâmetro de desempenho que queremos explorar é a nitidez da frequência de corte. Um filtro de passagem baixa é projetado para bloquear todas as freqüências acima da freqüência de corte (a faixa de parada), enquanto passa todas as freqüências abaixo (a banda de passagem). A Figura 3-11 mostra a resposta de freqüência desses três filtros em uma escala logarítmica (dB). Estes gráficos são mostrados para filtros com uma frequência de corte hertz, mas podem ser ajustados diretamente para qualquer freqüência de corte que você precisa usar. Como é que esses filtros avaliam O Chebyshev é claramente o melhor, o Butterworth é pior, e o Bessel é absolutamente horrível. Como você provavelmente supôs, é isso que o Chebyshev foi projetado para fazer, roll-off (gota de amplitude) o mais rápido possível . Infelizmente, mesmo um Chebyshev de 8 pólos não é tão bom quanto você gostaria de um filtro antialias. Por exemplo, imagine uma amostragem de sistema de 12 bits em 10.000 amostras por segundo. O teorema de amostragem determina que qualquer freqüência acima de 5 kHz será alias, algo que você deseja evitar. Com um pouco de trabalho de adivinhação, você decide que todas as freqüências acima de 5 kHz devem ser reduzidas em amplitude por um fator de 100, garantindo que qualquer freqüência aliada tenha uma amplitude inferior a um por cento. Olhando para a Fig. 3-11c, você acha que um filtro Chebyshev de 8 pólos, com uma freqüência de corte de 1 hertz, não atinge uma atenuação (redução do sinal) de 100 até cerca de 1,35 hertz. Escalando isto para o exemplo, a freqüência de corte dos filtros deve ser definida como 3.7 kHz para que tudo acima de 5 kHz tenha a atenuação necessária. Isso faz com que a banda de frequência entre 3,7 kHz e 5 kHz seja desperdiçada no roll-off inadequado do filtro analógico. Um ponto sutil: o fator de atenuação de 100 neste exemplo é provavelmente suficiente mesmo que haja 4096 passos em 12 bits. Da Fig. 3-4, 5100 hertz alias para 4900 hertz, 6000 hertz irão para 4000 hertz, etc. Você não se importa com as amplitudes dos sinais entre 5000 e 6300 hertz, pois alias na região inutilizável entre 3700 hertz e 5000 Hertz. Para uma frequência para alias na banda passiva dos filtros (0 a 3,7 kHz), deve ser maior que 6300 hertz, ou 1,7 vezes a frequência de corte dos filtros de 3700 hertz. Conforme mostrado na Fig. 3-11c, a atenuação fornecida por um filtro Chebyshev de 8 pólos em 1,7 vezes a freqüência de corte é de cerca de 1300, muito mais adequada do que 100, com a qual iniciamos a análise. A moral para esta história: na maioria dos sistemas, a faixa de freqüência entre cerca de 0,4 e 0,5 da freqüência de amostragem é um terreno deserto inutilizável de sinais de deslocamento de filtro e alias. Este é um resultado direto das limitações dos filtros analógicos. A resposta de freqüência do filtro passa-baixa perfeito é plana em toda a banda passante. Todos os filtros ficam ótimos a este respeito na Fig. 3-11, mas apenas porque o eixo vertical é exibido em uma escala logarítmica. Outra história é contada quando os gráficos são convertidos para uma escala vertical linear, como é mostrado na Fig. 3-12. A ondulação de banda passiva agora pode ser vista no filtro Chebyshev (variações onduladas na amplitude das frequências passadas). Na verdade, o filtro Chebyshev obtém seu excelente roll-off, permitindo essa ondulação de banda passante. Quando mais ondulação de banda passante é permitida em um filtro, pode ser conseguido um roll-off mais rápido. Todos os filtros Chebyshev projetados usando a Tabela 3-1 têm uma ondulação de banda passante de cerca de 6 (0,5 dB), um bom compromisso e uma escolha comum. Um design semelhante, o filtro elíptico. Permite ripple tanto na banda passante como na banda stop. Embora sejam mais difíceis de projetar, os filtros elípticos podem conseguir uma compensação ainda melhor entre roll-off e ondulação de banda passante. Em comparação, o filtro Butterworth é otimizado para fornecer o melhor desdobramento possível sem permitir ondulação na banda passante. É comumente chamado de filtro máximo. E é idêntico a um Chebyshev projetado para ondulação de banda passada zero. O filtro Bessel não tem ondulação na banda passante, mas o roll-off muito pior do que o Butterworth. O último parâmetro a avaliar é a resposta passo a passo. Como o filtro responde quando a entrada muda rapidamente de um valor para outro. A Figura 3-13 mostra a resposta de passo de cada um dos três filtros. O eixo horizontal é mostrado para filtros com uma frequência de corte de 1 hertz, mas pode ser escalado (inversamente) para frequências de corte mais altas. Por exemplo, uma freqüência de corte de 1000 hertz mostraria uma resposta gradual em milissegundos. Em vez de segundos. Os filtros Butterworth e Chebyshev superam e mostram o toque (oscilações que diminuem lentamente em amplitude). Em comparação, o filtro de Bessel não possui nenhum desses problemas desagradáveis. A Figura 3-14 ilustra ainda esta característica muito favorável do filtro Bessel. A figura (a) mostra uma forma de onda de pulso, que pode ser vista como um passo ascendente seguido de um passo caindo. As figuras (b) e (c) mostram como esta forma de onda apareceria após os filtros Bessel e Chebyshev, respectivamente. Se isso fosse um sinal de vídeo, por exemplo, a distorção introduzida pelo filtro Chebyshev seria devastadora. O excesso alteraria o brilho das bordas dos objetos em comparação com seus centros. Pior ainda, o lado esquerdo dos objetos ficaria brilhante, enquanto o lado direito dos objetos ficaria escuro. Muitas aplicações não podem tolerar um desempenho fraco na resposta passo a passo. Este é o lugar onde o filtro Bessel não suporta overshoot e bordas simétricas. Guia de cientistas e engenheiros para processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 6: Convolução Vamos resumir esta maneira de entender como um sistema muda um sinal de entrada para um sinal de saída. Primeiro, o sinal de entrada pode ser decomposto em um conjunto de impulsos, cada um dos quais pode ser visto como uma função delta escalada e deslocada. Em segundo lugar, a saída resultante de cada impulso é uma versão escalonada e deslocada da resposta de impulso. Em terceiro lugar, o sinal de saída global pode ser encontrado adicionando essas respostas de impulso escalonadas e deslocadas. Em outras palavras, se conhecemos uma resposta de impulso de sistemas, podemos calcular o que será a saída para qualquer sinal de entrada possível. Isso significa que sabemos tudo sobre o sistema. Não há nada mais que possa ser aprendido sobre as características de sistemas lineares. (No entanto, em capítulos posteriores, mostraremos que essas informações podem ser representadas em diferentes formas). A resposta ao impulso passa por um nome diferente em algumas aplicações. Se o sistema que está sendo considerado é um filtro. A resposta ao impulso é chamada de kernel de filtro. O núcleo da convolução. Ou simplesmente, o kernel. No processamento de imagem, a resposta ao impulso é chamada de função de propagação do ponto. Embora esses termos sejam usados ​​de maneiras ligeiramente diferentes, todos eles significam o mesmo, o sinal produzido por um sistema quando a entrada é uma função delta. A convolução é uma operação matemática formal, assim como multiplicação, adição e integração. A adição leva dois números e produz um terceiro número. Enquanto a convolução leva dois sinais e produz um terceiro sinal. A convolução é usada na matemática de muitos campos, como probabilidade e estatística. Em sistemas lineares, a convolução é usada para descrever a relação entre três sinais de interesse: o sinal de entrada, a resposta ao impulso e o sinal de saída. A Figura 6-2 mostra a notação quando a convolução é usada com sistemas lineares. Um sinal de entrada, x n, entra num sistema linear com uma resposta de impulso, h n, resultando em um sinal de saída, y n. Na forma da equação: x n h n y n. Expresso em palavras, o sinal de entrada convolvido com a resposta de impulso é igual ao sinal de saída. Assim como a adição é representada pelo plus, e a multiplicação pela cruz, os tempos, a convolução é representada pela estrela,. É lamentável que a maioria das linguagens de programação também use a estrela para indicar a multiplicação. Uma estrela em um programa de computador significa multiplicação, enquanto uma estrela em uma equação significa convolução. A Figura 6-3 mostra a convolução sendo usada para filtragem de passagem baixa e passagem alta. O exemplo de sinal de entrada é a soma de dois componentes: três ciclos de onda senoidal (representando uma alta freqüência), além de uma rampa de aumento lento (composta de baixas freqüências). Em (a), a resposta de impulso para o filtro de passagem baixa é um arco suave, resultando em apenas a forma de onda de rampa de mudança lenta passando para a saída. Da mesma forma, o filtro de passagem alta, (b), permite que a sinusoide que mais muda rapidamente passa. A Figura 6-4 ilustra dois exemplos adicionais de como a convolução é usada para processar sinais. O atenuador inversor, (a), desliza o sinal de cima para baixo e reduz a sua amplitude. A derivada discreta (também chamada de primeira diferença), mostrada em (b), resulta em um sinal de saída relacionado à inclinação do sinal de entrada. Observe os comprimentos dos sinais nas Figs. 6-3 e 6-4. Os sinais de entrada são de 81 amostras de comprimento, enquanto cada resposta de impulso é composta por 31 amostras. Na maioria das aplicações DSP, o sinal de entrada é de centenas, milhares ou mesmo milhões de amostras de comprimento. A resposta ao impulso geralmente é muito mais curta, digamos, alguns pontos para algumas centenas de pontos. A matemática por trás da convolução não restringe quanto tempo esses sinais são. No entanto, ele especifica o comprimento do sinal de saída. O comprimento do sinal de saída é igual ao comprimento do sinal de entrada, além do comprimento da resposta de impulso, menos um. Para os sinais nas Figs. 6-3 e 6-4, cada sinal de saída é: 81 31 - 1 111 amostras de comprimento. O sinal de entrada é executado a partir da amostra 0 a 80, a resposta de impulso da amostra 0 a 30 e o sinal de saída da amostra 0 a 110. Agora chegamos à matemática detalhada da convolução. Conforme usado no processamento de sinal digital, a convolução pode ser entendida de duas formas distintas. O primeiro examina a convolução do ponto de vista do sinal de entrada. Isso envolve a análise de como cada amostra no sinal de entrada contribui para muitos pontos no sinal de saída. A segunda maneira analisa a convolução a partir do ponto de vista do sinal de saída. Isso examina como cada amostra no sinal de saída recebeu informações de muitos pontos no sinal de entrada. Tenha em mente que essas duas perspectivas são maneiras diferentes de pensar sobre a mesma operação matemática. O primeiro ponto de vista é importante porque fornece uma compreensão conceitual de como a convolução pertence ao DSP. O segundo ponto de vista descreve a matemática da convolução. Isso tipifica uma das tarefas mais difíceis que você encontrará no DSP: tornar sua compreensão conceitual cabida com a confusão da matemática usada para comunicar as idéias.